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L'automatizzazione del calcolo aritmetico
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LE BUONE PRATICHE INNOVATIVE DEL “METODO GALILEO”
 
(6) L’AUTOMATIZZAZIONE DEL CALCOLO ARITMETICO
Jacqueline Bickel

Diversi e tutti ottimi sono i metodi proposti dalla matematica moderna per far comprendere ai bambini le operazioni che sottendono il calcolo aritmetico; in genere si tratta di iniziare facendoli operare con materiale concreto e con oggetti diversi, in modo da capire bene il significato dell’operazione, generalizzandolo indipendentemente dal tipo di oggetto usato.
Quando i bambini hanno imparato ad addizionare operando con oggetti concreti, possono essere guidati a trascrivere sul foglio sia l’operazione appena eseguita sia il risultato, usando inizialmente il codice analogico, cioè le configurazioni ordinate. Così facendo hanno l’opportunità di familiarizzarsi con :
  • la corrispondenza spazio - temporale, cioè che l’allineamento da sinistra verso destra corrisponde al prima/ dopo
  • le notazioni formali : (+) più, si aggiunge, (-) meno, si toglie, (=) uguale
La scrittura delle operazioni aritmetiche mediante le cifre permette di darne una rappresentazione particolarmente efficace, indispensabile per rinforzare sia la comprensione sia l’evocazione.
 

 

Addizione e sottrazione

 

La relazione di addizione è l’operazione di base, dalla quale deriveranno per trasformazione le altre tre:
infatti
  • la sottrazione è la relazione inversa;
  • la moltiplicazione rappresenta il ripetersi di addizioni di uno stesso numero;
  • la divisione, l’inverso della moltiplicazione, cioè il frazionamento di un numero in un numero determinato di addendi simili.
Per eseguire semplici operazioni di somma o sottrazione con oggetti i bambini possono usare anche il loro abaco, disponendo gli oggetti sui posti, aggiungendo o togliendo, e verificando la configurazione ordinata finale.
Sull’abaco ordinato ogni bambino può eseguire piccole somme entro il 10, seguendo la regola di riempire sempre la prima casella a sinistra; allo stesso modo per sommare entro il 20 è necessario riempire sempre il primo abaco, o prima decina.
L’addizione con l’abaco ha lo scopo di rafforzare la rappresentazione mentale; nello stesso tempo farà usare al bambino la proprietà dissociativa, frazionando il secondo addendo per riempire la casella di sinistra o la prima decina. Allo stesso modo si potranno abituare i bambini ad usare la proprietà associativa, facendoli addizionare tre numeri. Tutto ciò ben prima di imparare a mente la regola, che in genere sarà saputa, ma poco adoperata.
Fino dalla scuola dell’infanzia i bambini, raggruppando sul loro abaco oggetti diversi e contando cose reali, possono incominciare a memorizzare la somma di due numeri, per ottenere come risultato prima il cinque, poi anche il dieci. I vari risultati possono essere poi associati sia al linguaggio orale con la verbalizzazione, sia alle cifre con la scrittura.
Ripetendo molte volte la stessa operazione, con oggetti diversi, i bambini potranno automatizzare i risultati, sostituendo gradualmente le operazioni di raggruppamento o di conteggio con l’evocazione diretta grazie al calcolo mentale, esprimendo il risultato in forma orale o anche scritta. Nella scuola primaria si proseguirà fino ad ottenere il venti.
E’ evidente che le somme dei primi dieci numeri presi a due per due sono cento. In pratica non è necessario che i bambini le memorizzino tutte singolarmente, dato che è più opportuno far loro sfruttare la reversibilità (3+2=5 ma anche 2+3=5). I risultati da memorizzare per l’evocazione risultano così essere cinquantacinque: dieci relativi alla somma di ogni numero con se stesso, più la metà dei restanti novanta.
Grazie alla reversibilità di pensiero verrà compresa automaticamente anche la sottrazione che rappresenta con l’addizione un unico sistema reversibile.
I bambini possono rendersi conto, operando sul concreto, che quando conoscono il risultato di una semplice addizione, in realtà conoscono il risultato di ben quattro operazioni: se sanno che 3 + 5 = 8 sapranno anche che: 5 + 3 = 8; 8 – 5 = 3; 8 – 3 = 5.
Per ultimo sarà introdotto il calcolo in colonna, preoccupandosi di verificare la precisione nell’incolonnamento con l’ausilio dei quadretti; introducendo successivamente anche i meccanismi del riporto nell’addizione e del prestito nella sottrazione, secondo i metodi tradizionali.
 

 

Moltiplicazione e divisione

 

La relazione di moltiplicazione esprime il ripetersi di addizioni con uno stesso addendo, la divisione è la relazione inversa. Ambedue richiedono ai bambini un impegno operativo mentale notevole.
Come per le due precedenti operazioni, è opportuno far capire il significato dell’operazione partendo dal concreto, passando gradualmente alla formulazione orale e alla scrittura con le cifre.
Per operare con qualsiasi numero, sentendosi sempre a proprio agio nel calcolo è indispensabile che ogni bambino possa evocare agevolmente e senza sforzo tutte le relazioni di moltiplicazione fra i primi dieci numeri, presi a due per due, definite abitualmente come tabelline. Queste relazioni dovranno essere non solo comprese, ma anche automatizzate.
Molti bambini che non hanno successo in matematica, presentano lacune in questo settore, in particolare per quanto riguarda sia la correttezza, sia il tempo di evocazione. Quando l’evocazione mentale non è rapida ma faticosa e forzata, a lungo andare si avrà difficoltà per il calcolo e si potrà avere di conseguenza avversione per la matematica in generale. Infatti il calcolo, non automatizzato, finirà per distogliere risorse attentive dal ragionamento.
Per la scoperta dei risultati della moltiplicazione dei primi dieci numeri presi a due per due, e facilitarne la memorizzazione e l’evocazione, è opportuno seguire nella programmazione non tanto la naturale progressione dalla tabellina del 2 a quella del 10, quanto raggrupparle e secondo analogie nei risultati ottenuti, procedendo dalle più facili alle più difficili. Una volta individuati i risultati sarà opportuno sfruttare i vantaggi della scrittura con le cifre che, per la persistenza e la pregnanza dei dati visivi, aiuta a memorizzarli.
La tavola pitagorica, di vecchia memoria, sintetizza simultaneamente troppi dati e richiede un notevole impegno sia di osservazione sia di deduzione, improbabile nell''età infantile; non facilita quindi l’apprendimento ai bambini dello stadio preoperatorio
È importante invece usare il cartellone dei numeri, sul quale verranno applicati soltanto i numeri che interessano per visualizzare ogni gruppo di tabelline, tenendo conto di analogie e ricorrenze.
La tabellina più semplice è quella del 10. Può essere osservata come l’insieme delle cifre della colonna all’estrema destra del cartellone. È facile scoprire che:
  • si tratta della serie dei primi dieci numeri con a destra uno zero;
  • i loro nomi sono quelli delle decine
  • si ottengono contando di dieci in dieci
e si può generalizzare che per moltiplicare un numero per dieci, basta aggiungere uno zero alla sua destra. Insieme alla tabellina del 10 può essere presentata subito anche quella del 5 perché ne condivide alcuni risultati; basta inserire fra gli elementi della prima, i numeri che terminano per 5 fino al 50.
Proseguendo col criterio della facilitazione, verranno poi le tabelline del 2-4-8, per le quali sul cartellone saranno posizionati prima tutti i numeri fino all’80, eliminando poi quelli dispari. La tabellina del 2 finisce al 20, quella del 4 al 40, quella dell’8 all’80.. Si può fare notare e che alcuni risultati sono comuni a tutte e tre le tabelline.
Si presentano quindi le tabelline del 3, del 6 e del 9 collegate fra di loro dallo stesso tipo di relazione. In questo caso però ogni tabellina ha una particolare caratteristica:
  • la tabellina del 3 ha numeri pari e dispari alternati;
  • la tabellina del 6 ha tutti numeri pari;
  • la tabellina del 9 ha numeri pari e dispari alternati ed è facilitata dalla percezione visiva diretta delle singole cifre. L’insegnante farà osservare che, come ben noto, la somma delle due cifre è sempre 9 e che mentre le unità diminuiscono di uno, le decine aumentano di uno.
La tabellina del 7 è insolita e senza parentele. Tuttavia i bambini possono rendersi conto che essa è già stata appresa nelle altre tabelline, anche se in forma inversa: 2x7, 3x7, 4x7… Essi dovranno perciò imparare soltanto il risultato di 7x7=49.
Quando i bambini avranno automatizzato le diverse tabelline e sistematizzato le operazioni di moltiplicazione fra i primi dieci numeri, potranno trasformare facilmente i dati di moltiplicazione in quelli della divisione, che è l’operazione inversa.
L’insegnante farà notare che per ogni relazione conosciuta i bambini hanno a disposizione non un solo dato, ma quattro: 3 x 4 = 12; ma anche: 4 x 3 = 12; 12:3 = 4; 12:4 = 3. Per tutti i risultati di ogni tabellina l’insegnante farà evocare in modo giocoso le quattro relazioni, in modo da far automatizzare anche i risultati della divisione.
Seguendo con pazienza e precisione tutte le tappe indicate, personalizzando l’insegnamento secondo i bisogni individuali, tutta la classe può fare propria l’automatizzazione del calcolo aritmetico. L’insegnante non deve dare per scontato che, se alcuni alunni hanno raggiunto facilmente il successo, chi non ce l’ha fatta o è distratto o è portatore di discalculia. Bisogna invece che abbia la ferma convinzione che anche quest’ultimo automatismo è a disposizione di tutti i suoi scolari, ivi compresi molti soggetti diversamente abili, e che tutto dipende soltanto dalla sua accurata programmazione.

Pubblicato il '2011-03-05 

 

Dizionario galileiano

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