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La sistematizzazione del numero
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LE BUONE PRATICHE INNOVATIVE DEL METODO GALILEO
 
(5) LA SISTEMATIZZAZIONE DEL NUMERO

Jacqueline Bickel
 

Anche il sistema dei numeri e il calcolo aritmetico devono essere insegnati in modo da raggiungere l’automatizzazione alla fine della seconda classe primaria, in modo che tutti gli alunni abbiano libera la mente per concentrarsi sul ragionamento matematico. È questo tuttavia un automatismo leggermente più tardivo rispetto al segno grafico; può essere impiantato per alcuni bambini già dai quattro anni e comunque per tutti nell’ultimo anno della scuola dell’infanzia.
Innanzitutto è opportuno chiedersi cosa sia un numero e da cosa derivi. Se si vuole impostare una corretta educazione in ambito aritmetico per tutti i bambini, fino dalla scuola dell’infanzia, è indispensabile che ogni insegnante abbia un’idea chiara di cosa sia quello che si sta per insegnare e di come si formi nella mente dei bambini.
Una delle definizioni più utili per la comprensione dell’attività mentale che sottende la costruzione dei numeri, ci viene da Silvio Ceccato: il numero nasce dal singolare che si ripete, cioè si costruisce con la ripetizione del singolare, individuato sia come oggetto sia come azione.
Il singolare rientra fra i primi costrutti della mente infantile e quindi anche le prime ripetizioni del singolare possono sicuramente considerarsi già presenti nel pensiero preverbale del lattante. Infatti, fin dal momento della nascita egli si trova circondato da oggetti che si presentano in più esemplari uguali o simili: le sbarre del lettino, le tazze, i cucchiai, le sedie, le palline del suo passeggino e così via. Analogamente si trova al centro di azioni ricorrenti come le cucchiaiate di minestra, i primi passi, le capriole sulle ginocchia del papà.
Che il numero sia costruito assai precocemente nel pensiero infantile è dimostrato anche dal fatto che i bambini tentano di codificarlo con i loro primi enunciati, mediante la ripetizione della parola al singolare (palla, palla, palla...tazza, tazza, tazza...) mentre col gesto indicano separatamente ogni oggetto. Con l’evoluzione del linguaggio, il ripetersi dell’azione o il ripresentarsi dell’oggetto il numero sarà codificato con l’uso di particolari parole, come ancora, ancora...un altro, un altro...

 

I numeri derivano dal ritmo
L’attività di ripetizione sta alla base del ritmo. Non a caso la scienza dei numeri prende il nome di aritmetica dal termine greco a-rithmos (alfa privativa – ritmo): ciò significa che se si priva una musica non solo della melodia, ma perfino del ritmo, non restano che i primi numeri che lo sottendevano.
Il ritmo è l’insieme di simultaneità e successione: si battono le mani o si esegue un gesto e contemporaneamente si pronunciare una sillaba, proseguendo poi allo stesso modo. Quando i bambini scandivano il ritmo con il braccio o con la mano, toccando a turno i compagni nel “fare la conta”, o erano coinvolti nei comuni giochi da cortile saltando con la corda, battendo la palla contro il muro e recitando contemporaneamente una filastrocca, si costruivano inconsapevolmente le basi del numero. Contare un insieme di oggetti, toccandoli uno per uno, coinvolge in una analoga attività ritmica anche i muscoli dell’occhio che, se ben allenato, potrà eseguire più tardi da solo lo spostamento ritmico necessario per contare gruppi di elementi concreti o disegnati sul foglio, senza doverli toccare.
La derivazione del numero dal ritmo, eminentemente motorio, fa capire perché la sua costruzione, come pure le prime operazioni sui numeri naturali, rappresentino attività da automatizzare. Cosa che del resto ogni adulto può verificare di aver raggiunto, sia contando sia calcolando.
Grazie all’aumento della capacità di memoria ogni bambino potrà generare nella sua mente una serie di numeri mantenendo presente l’ultimo numero costituito e aggiungendovi ripetutamente un singolare, secondo la ben nota formula:
 
n + 1
(numero precedente + un singolare)
 
Poiché ogni numero richiede di mantenere presenti tutte le precedenti ripetizioni dei singolari, e quindi un certo sforzo di memoria, i numeri successivi al due - tre si formano in genere lentamente nella mente dei bambini e solo in conseguenza di un’esercitazione spontanea. Ogni insegnante può accertare fino dalla scuola dell’infanzia quanti numeri ogni bambino abbia avuto occasione di costruire e abbia disponibili nel suo pensiero (vedi scheda).
Basta disporre 8-10 dadi a intervalli regolari davanti al bambino e dirgli: “guarda cosa faccio e prova a farlo anche tu”. Si prende un altro dado in mano e si battono tutti i dadi nell’ordine partendo da destra verso sinistra (in modo che il bambino, che sta di fronte, inizi poi da sinistra verso destra), ripetendo ogni volta che si tocca un dado una sillaba a scelta, ad es. pa, pa, pa... Si porge quindi il dado al bambino e gli si dice “comincia da qui”.
Va osservato fino a quando il bambino riesce a battere e simultaneamente anche a pronunciare la sillaba mantenendo il ritmo: è questo il numero massimo che egli ha disponibile nel suo pensiero. A un certo punto infatti il ritmo verrà perso: il bambino dissocierà la pronuncia dalla battuta, salterà uno o più elementi… o farà qualsiasi altra imperfezione esecutiva, dando in tal modo all’insegnante la preziosa informazione.
 
 
Conoscere il nome dei numeri nella giusta sequenza
I bambini sono dei grandi osservatori di tutto quello che gli adulti fanno e dicono. Spinti da questa naturale curiosità non tardano ad accorgersi di quanto spesso i grandi adoperino i nomi dei numeri nelle conversazioni quotidiane: dalle date ai canali televisivi, dai numeri civici a quelli degli autobus o del telefono, dai prezzi del mercato ai risultati delle partite di calcio. Essi possono così familiarizzarsi assai precocemente con i nomi dei numeri, anche se all’inizio tendono a considerarli come attributi di certi oggetti o di certe attività.
I numeri vengono così inizialmente a costituire una classe nella mente dei piccoli, come i colori o i cibi, ma non appaiono ancora necessariamente collegati fra loro secondo una precisa sequenza. Un bambino potrà tranquillamente rispondere alla domanda “Sai contare?”” Sì: uno, due, cinque, otto” confermando così all’educatore di aver individuato assai bene alcuni nomi di numeri come appartenenti alla stessa classe.
Conoscere il nome dei numeri è ben lungi dall’essere quella attività definita spregiativamente come meccanica. I matematici non danno eccessiva importanza al nome dei numeri, che possono variare da lingua a lingua, e dal loro punto di vista formale hanno ragione. Ma per i bambini il caso è diverso, come del resto è stato diverso anche nella storia dell’umanità, quando il dare il nome ai numeri ha rappresentato un evento di portata eccezionale.
La serie n + 1, costruita nel pensiero rappresenta una serie crescente all’infinito e, come tale, di difficile individuazione ed utilizzo al di là dei primi elementi. Anche gli adulti non riescono a percepire globalmente a prima vista oltre 4-6 cose allineate, come ben sanno tutti coloro che si dedicano a risolvere le parole incrociate e che devono contare le caselle quando oltrepassano le sei.
I numeri hanno ricevuto i primi nomi senza alcuna relazione con il loro referente mentale. Nel bacino mediterraneo furono gli antenati di Caldei e Babilonesi a contare per primi in base dieci, probabilmente dopo aver individuato come singolari ripetuti le dieci dita e coniando per loro dieci nomi arbitrari da mantenersi in sequenza. L’uso delle dita come elemento per la denominazione dei primi numeri è assai verosimile; tanto è vero che nell’America Centrale precolombiana i saggi di un’altra grande civiltà, i Maya, estremamente interessati alla matematica e all’astronomia, contavano in base venti perché, dato il clima tropicale che non li invitava a coprirsi troppo, avevano a loro disposizione anche le dita dei piedi.
Il grande successo riscosso dal dare un nome ai numeri è però legato non tanto alla denominazione arbitraria e casuale dei primi dieci, quanto all’idea geniale di proseguire nella serie ripetendo sempre gli stessi nomi con l’aggiunta di minime variazioni linguistiche. Grazie al far ricorrere la sequenza dei nomi, con brevi aggiunte per differenziare le decine, è stato così possibile dividere la serie dei numeri, crescente all’infinito, ordinandola secondo un criterio classificatorio: introducendo le unità nelle decine, le decine nelle centinaia, le centinaia nelle migliaia...e così via. In questo modo, e solo grazie ai nomi, è stato possibile denominare e identificare rapidamente qualsiasi numero per lontano che sia dal primo.
I primi dieci nomi sono mono- o bi-sillabi del tutto convenzionali e assai facili da pronunciare e da imparare, ma è importante che i bambini memorizzino bene la loro sequenza, come in qualsiasi filastrocca. Una volta appresi e automatizzati i nomi della prima decina, il bambino dovrà continuare a memorizzare, uno alla volta e nella precisa sequenza, tutti i nomi dall’undici al venti.
Purtroppo la lingua italiana, derivata dal latino, utilizza una serie di nomi particolarmente inadatti per l’apprendimento infantile: parole trisillabe sdrucciole di cui i bambini percepiscono esclusivamente la terminazione simile (‘-dici), ma non il ricorrere della prima serie. Meglio sarebbe stato potersi servire di termini quali diciauno, diciadue, diciatre... che insieme al diciassette, diciotto, diciannove avrebbero consentito un più agevole ricordo e collegamento.
A partire dal ventuno invece è molto più facile per il bambino scoprire la regola della ricorrenza dei primi nomi, dato che, sia con l’ascolto sia con la pronuncia, può chiaramente individuarne la ripetizione. Può capitare che qualche bambino, sospinto dalla foga, una volta arrivato al ventinove azzardi un ventidieci, invariabilmente rimbeccato dal commento frustrante dell’adulto più vicino: Ma no! Trenta!
Il bambino comunque non si scompone troppo e in genere riparte speditamente col trentuno, trentadue... Da questo momento tuttavia avrà imparato a fermarsi ogni volta sul trentanove, sul quarantanove... in attesa che qualcuno prima o poi arrivi a fornirgli il nome mancante, consentendogli di proseguire. Se verranno forniti di buona grazia i nomi di tutte le decine, nelle quali, come per i nomi dall’undici al venti, i bambini piccoli non possono ancora riconoscere la sequenza iniziale, essi possono arrivare facilmente e senza eccessivo sforzo a generare oralmente la sequenza dei nomi fino al cento già prima di entrare alla scuola primaria.
Per poter essere utilizzata con successo la serie dei nomi deve non solo essere memorizzata, ma addirittura automatizzata, in modo da non presentare il minimo impaccio per l’evocazione in qualsiasi momento. Basterà che l’insegnante chieda ad ogni bambino di recitare la serie fino a dove la sa, prestando un orecchio attento ad eventuali omissioni, come pure alla comparsa di esitazioni per quanto impercettibili.
La conoscenza e la familiarità con i nomi dei numeri è molto più importante di quanto comunemente si creda. Innanzitutto permette al bambino di organizzare una serie continuamente crescente in un sistema classificatorio, grazie a continue successive inclusioni, sistematizzando tutto il campo dei numeri. I numeri possiedono infatti un aspetto di pensiero e uno di linguaggio, ed è proprio quest’ultimo che, dando all’intera serie le caratteristiche della classificazione, oltre a quelle della sequenza e della seriazione, li pone alla base della logica matematica.
In secondo luogo la comparsa di neologismi come il ventidieci, conferma che i bambini imparano la lingua orale non solo attraverso l’ascolto, ma soprattutto per applicazione creativa di regole. Infine abbiamo avuto conferma che questa attività verbale è tranquillamente alla portata di bambini in età prescolare; anzi, molti dimostrano di impegnarvisi per scelta spontanea a fini ludici, pronunziando ad alta voce l’intera filastrocca per il proprio piacere.
Al momento dell’ingresso nella scuola primaria chi avrà reso stabile, sicuro, prevedibile il campo dei numeri e vi si trova a proprio agio, perché conosce già bene i loro nomi e ha chiare le regole che li governano, sembrerà possedere la necessaria “intuizione”, mentre chi conosce a malapena la sequenza dei nomi fino al dieci, e si trova a dover affrontare troppi problemi contemporaneamente, finirà con lo scoraggiarsi e diminuire gradualmente il suo impegno in questo settore, fino ad adeguarsi all’etichetta di “non dotato per la matematica”.

 

Saper contare
Il bambino che riesce a mantenere la corrispondenza ritmica fra gesto e parola e che ha sufficientemente automatizzato la sequenza dei nomi dei numeri ha fatto propri due importanti prerequisiti, ma non sa ancora contare.
Saprà infatti contare quando avrà capito la regola fondamentale, e cioè che per contare un gruppo di oggetti è indispensabile contarli tutti e ciascuno una volta sola. Siamo talmente abituati a considerare ovvio questo presupposto, che si finisce col dimenticare che per i bambini è meno ovvio: bisogna verificare per tutti l’avvenuta acquisizione e programmarne tempestivamente l’insegnamento (vedi scheda)
Per una veloce verifica si dispone davanti al bambino una serie disordinata di dieci o più oggetti e gli si chiede di contarli. Se non li sposta gli si chiede di ricontarli cominciando da un altro oggetto. Se ottiene due risultati diversi gli si chiede: Pensi che siano più ora o prima o sono sempre uguali e perché? Si annotano le azioni e le risposte senza commenti.
I bambini sotto i cinque anni hanno difficoltà a toccare una sola volta tutti gli oggetti di un insieme posto disordinatamente di fronte a loro: l’eventualità più comune, contandoli senza spostarli, è di toccarne almeno uno o due per due volte; più raramente possono saltarne uno. Per i bambini piccoli è del tutto normale e possibile ottenere risultati diversi nel contare lo stesso numero di oggetti, soprattutto se ogni volta si inizia da elementi diversi. Questo fatto dipende dalla non ancora raggiunta conservazione del numero, oltre che dalla tendenza a contare gli oggetti nel modo in cui sono disposti inizialmente. Naturalmente è un errore in cui possono incorrere con maggiore facilità se gli oggetti da contare sono grandi e difficilmente spostabili come tavoli o altri mobili, o fissi come alberi, colonne o altre costruzioni, oppure sono disegnati.
Ogni insegnante deve essere consapevole che finché i bambini saranno costretti a toccare gli oggetti contati o comunque a eseguire movimenti con le braccia o con il corpo mentre contano, dimostrano di essere ancora al possesso del numero ordinale e dovere ancora raggiungere la concezione cardinale, grazie alla quale ha significato il calcolo aritmetico.
Un gioco particolarmente utile per facilitare il passaggio dall’ordinalità alla cardinalità, dalla semplice sequenza alla collezione, è il gioco dell’oca. Quando il bambino lancia il dado e deve contare è ancora al numero ordinale; se invece sa leggerlo immediatamente, senza dover contare, dimostra di aver raggiunto la cardinalità. Quando poi esegue i singoli passi lungo il percorso ritrova la sequenza e il numero ordinale.
Grazie all’automatizzazione del conteggio, i bambini possono iniziare ad eseguire semplici somme utilizzando le dita: alzano le dita di una mano per il primo numero, le dita dell’altra per il secondo e contano per ottenere il risultato. Le cose però si complicano se uno dei due numeri è superiore al cinque. È a questo punto che interviene un’ulteriore capacità.
Da quando iniziano a contare i bambini mostrano l’esigenza di cominciare sempre dall’uno; solo quando avranno raggiunto una buona automatizzazione della serie dei nomi raggiungono la capacità dicontare oltre, cioè di saper proseguire il conteggio iniziando da qualsiasi numero, senza dover ogni volta ricominciare dall’ uno. Questa abilità compare in genere fra i cinque e i sei anni, ma solo in seguito a una costante esercitazione gioiosa e ludica, mai imposta.

 

Conservazione del numero
Una ricca esperienza nel contare le cose più diverse, e diverse volte le stesse cose, aiuta i bambini a raggiungere, come dice Piaget, la conservazione del numero; devono cioè convincersi che il numero è indipendentenon solo da vari attributi percettivi, come forma, colore, consistenza… ma anche dalla dimensionedelle cose contate e soprattutto dalla loro disposizione nello spazio.
All’ingresso nella scuola dell’infanzia i bambini sono in genere già capaci, anche senza saper contare, di apprezzare differenze quantitative fra due gruppi di tre e cinque caramelle o fra due fette di torta di dimensioni diverse. Il loro giudizio tuttavia si basa esclusivamente sulle apparenze percettive e sulla superficie coperta dalle cose da valutare. Essi possono trovarsi imbarazzati quando il numero si trova in contrasto con la quantità: ad esempio, tre torte sono a loro giudizio sempre di più di sei paste di analoga forma, dato che nel primo caso vi è più spazio coperto, oltre che evidentemente più roba da mangiare.
Oltre all’estensione anche la disposizione nello spazio, e l’impressione percettiva che se ne ricava, ha un peso considerevole nell’orientare i giudizi infantili. È classica l’osservazione piagetiana che, anche dopo aver accuratamente stabilito la corrispondenza biunivoca fra due insiemi di oggetti, tazze e cucchiaini, vasi e fiori... quando se ne raggruppa uno, alterando così l’apparenza visiva, i bambini piccoli non sono più in grado di apprezzare l’uguaglianza. Così pure se, dopo avere fatto contare una serie di oggetti, si ridispongono altrimenti, più raggruppati o più sparsi, senza comunque toglierne o aggiungerne altri, e si domanda: e ora quanti sono? i bambini che non conservano ricominciano pazientemente a contare.
L’unico modo per fare raggiungere a tutti i bambini la conservazione del numero è la combinazione del fare e del dire. Bisogna creare opportunità quotidiane per ripetere il conteggio e il paragone con gli oggetti più disparati: mobili, fissi o disegnati e anche con i bambini stessi, bambini e sedie, bambini e matite... spiegando a parole la situazione e dando le risposte. Con un costante allenamento nel contare oggetti diversi, variando costantemente l’inizio o la loro disposizione, nel contare e paragonare serie a volte in corrispondenza biunivoca a volte disposte altrimenti, la maggior parte dei bambini può arrivare alla scuola primaria avendo già raggiunto la conservazione.
 
 
Rappresentazione del numero
Durante gli anni della scuola dell’infanzia è bene che i bambini abbiano il tempo di familiarizzarsi con la rappresentazione visiva del numero. L’idea prevalente è quella di presentare disegni di più esemplari degli stessi oggetti, e ciò si riscontra su certe tombole o tessere di domino, oltre che nelle illustrazioni dei libri per i primi approcci al numero. Tuttavia utilizzando oggetti disegnati si va incontro a due possibili interferenze:
  • la prima riguarda la lettura della collezione, dato che l’interesse dei bambini tende ad essere catturato più dai disegni che dall’ insieme numerico;
  • la seconda si riferisce alle difficoltà che i bambini trovano se si chiede loro di disegnare insiemi di oggetti, a tutto scapito dell’attenzione verso la notazione del numero.

 

Sembra così più opportuno utilizzare una notazione che ricordi il più possibile il singolare, abituando i bambini a servirsene per qualsiasi tipo di oggetto contato. I segni che rimandano al singolare sono: la barra verticale ( / ), il cerchietto ( o ) o il pallino (  ). La prima soluzione è stata a lungo utilizzata durante l’era agricola da individui adulti, anche se analfabeti, per spartirsi il raccolto. Le ultime due sembrano però le più indicate per la percezione infantile. Infatti la lettura e il disegno del cerchietto o del pallino è in genere alla portata di bambini di quattro o cinque anni.
La rappresentazione dei numeri oltre il tre può avvenire utilizzando tre tipi di raggruppamenti dei pallini: l’insieme disordinato, lineare, ordinato secondo gli schemi del domino.
L’insieme ordinato, per essere disegnato, richiede lo stesso tempo, la stessa massa di inchiostro, gesso o grafite e la stessa energia impressa dalla mano allo strumento grafico che esigono gli insiemi disordinati o lineari. Tuttavia esso presenta rispetto a questi ultimi un notevole vantaggio percettivo, dovuto allamessa in forma: quello che lo differenzia dagli altri due è infatti la maggiore informazione.
C’è se mai da chiedersi come mai aprendo libri e quaderni di bambini delle prime classi primarie lo si veda usare con tanta parsimonia. È bene invece che anche i bambini possano usufruire della facilitazione percettiva offerta dall’abitudine di servirsi degli insiemi ordinati per individuar i numeri, soprattutto quelli superiori al sei, in modo da saperseli anche rappresentare mentalmente in questo modo.
Un abaco portatile molto efficace, che ognuno porta sempre con sé è la mano che, con tre dita alzate, contiene molta più informazione di tre pallini disposti sul tavolo o sul foglio: infatti essa presenta anche le due dita abbassate. È utile che i bambini adoperino le mani per contare, tuttavia spesso l’alzare e l’abbassare le dita può presentare impaccio per un bambino piccolo, oltre a togliere l’uso delle mani per manipolare oggetti o disegnare.
Gli abachi generalmente in commercio non sono i più adatti, perché formati da insiemi lineari di dieci pallini, scarsamente utili sul piano percettivo. Ogni insegnante può invece prepararsi un proprio abaco, e aiutare ogni bambino a possederne uno, con minima spesa e massimo risultato.
Questo abaco fornisce tutta l’informazione contenuta sia negli insiemi ordinati, sia nell’uso delle mani e delle dita alzate e abbassate. È composto da una cartellina di cartone rigido di cm 5 x 10. La si divide con un tratto di pennarello in due parti di cm 5x5, ognuna delle quali rappresenta una mano e in ognuna si disegnano cinque cerchi disposti ordinatamente. Sui cinque posticosì segnati i bambini potranno disporre gettoni o altri oggetti da contare: i posti occupati equivarranno alle dita alzate, i posti liberi alle dita abbassate. La cartella piena corrisponde alle due mani con tutte le dita alzate, ossia alla prima decina.
La rappresentazione ordinata può agevolare anche la comprensione della composizione e scomposizione di ogni numero. Per ogni numero inoltre risulterà evidente, grazie alla disposizione ordinata dei posti, anche il complemento, cioè quanto manca, a 5 o a 10. Inoltre usando due cartelle ogni bambino potrà rappresentarsi tutti i numeri fino a venti, senza incorrere in alcuna difficoltà dato che si tratta della percezione massima di quattro mani.
Se si abituano i bambini a raggruppare i piccoli oggetti da contare su questo semplice sussidio, essi avranno a disposizione anche un’altra strategia, oltre il contare, per saper con precisione quanti oggetti appartengano ad una data collezione: la percezione immediata grazie alla disposizione ordinata. Con questo esercizio inoltre:
  • rafforzano una corretta rappresentazione mentale del numero;
  • si liberano dalla dipendenza percettiva e dalla disposizione degli oggetti nello spazio;
  • facilitano la fusione fra numero e quantità e il passaggio da ordinale a cardinale.

 

 
L’introduzione delle cifre
Insegnare a scrivere i numeri sotto forma di cifra, è e deve restare compito esclusivo della scuola primaria. Imparare a rappresentare i numeri con le cifre ripropone ai bambini i problemi relativi all’imparare i loro nomi: le prime dieci cifre infatti, dallo 0 al 9, non presentano alcun collegamento né con i singolari ripetuti, né con i loro nomi.
Le cifre rappresentano un codice ideografico convenzionale, che lega direttamente il segno scritto al significato di pensiero, indipendentemente dalla pronuncia del nome, che in ogni lingua è differente. Dal 10 in poi la serie delle cifre presenta in modo chiaro ed evidente il continuo e costante ricorrere della serie iniziale.
Un semplice sussidio molto utile per la verifica, ma anche per programmare la lettura delle cifre, può essere costruito artigianalmente da ogni insegnante. Si tratta del cartellone dei numeri, analogo al cartellone del gioco della tombola di buona memoria, ma esteso fino al cento (vedi scheda).
Il materiale necessario è costituito da due quadrati di cartoncino bianco di m. 1 x 1, oltre a un metro circa di velcro. Sul primo cartoncino, che diventerà il cartellone, si disegna con un pennarello indelebile una griglia di 100 quadretti di 10 cm. di lato ciascuno. Il secondo cartoncino verrà invece ritagliato in 100 quadratini di 10 cm. di lato, su ognuno dei quali verranno disegnate le cifre dall’1 al 100. Si ritaglierà il velcro in cento pezzetti: la parte lanosa sarà incollata al centro dei quadretti sul cartellone, la parte uncinata sul retro dei quadratini con le cifre.
Il cartellone aiuta sia la lettura delle cifre, sia la scoperta autonoma da parte dei bambini della regola della doppia ricorrenza sia dei nomi, sia del valore posizionale. Bisogna però avere l''accorgimento di fare appendere soltanto le cifre che interessano, mantenendo lo sfondo bianco per evitare i problemi di figura-sfondo, che sorgono se ci fossero scritte tutte le cifre.
Inoltre bisogna richiedere sempre di fare pronunciare ad alta voce i nomi dei numeri mentre si appendono, in modo da rinforzare l''associazione visivo-uditiva fra cifra e nome pronunciato. Ciò li aiuterà anche ad afferrare la regola del valore posizionale delle cifre a partire dalla terza decina; ad esempio, pronunciando i numeri venti-due, venti-tre, venti-quattro, il bambino potrà accorgersi che il 2 (venti) resta costante, mentre cambia solo la cifra relativa all''unità.. L’apprendimento per scoperta in questo modo è molto più efficace, perché consono al modo di apprendere durante il periodo preoperatorio, che non l’uso di sigle quali daeu ( per decine e unità) che solo un pensiero formale può capire.
E’ utile che i bambini abbiano ripetute occasioni per esercitarsi a leggere ad alta voce l’intera serie di cifre fino a 100, utilizzando il cartellone che cura scrupolosamente l’ incolonnamento, per poter notare che sotto l’1 si trovano tutti i numeri i cui nomi terminano in -uno (21, 31, 41...), sotto il 2 tutti i numeri i cui nomi terminano in -due (22, 32, 42...) e così via. La massa dei cartellini aiuta a stabilire in modo concreto anche la connessione del numero con la quantità.
Grazie al cartellone delle cifre i bambini potranno andare incontro a numerose scoperte indispensabili alla concettualizzazione del numero, ma solo rispettando i loro ritmi individuali e una certa gradualità. Con questo semplice esercizio di lettura, ed eventualmente di scrittura, ma sempre ordinata, ogni bambino ha l’occasione di scoprire che:
  • tutti i numeri si scrivono utilizzando sempre e solo dieci segni, combinabili fra loro
  • questi segni corrispondono ai primi nove nomi della sequenza orale
  • la cifra di sinistra resta fissa più a lungo, come avviene per il nome : venti-due, venti-tre..., trenta-due, trenta-tre..., mentre la cifra di destra cambia per ogni numero, proprio come nei nomi pronunciati a voce
  • la stessa sequenza si ripete continuamente e non solo per le unità, come si nota bene col linguaggio orale, ma anche per le decine (20, 30, 40...). E’ infatti grazie alla cifra scritta che i bambini scoprono la ricorrenza dei primi nove numeri sia dall’11 al 19, sia nelle decine dal 20 al 90, cosa che oralmente era assai meno evidente
  • dopo avere afferrato la regola del valore posizionale, oltre a quelle di sequenza e di ricorrenza bene associate alla pronuncia, è possibile scrivere e leggere anche numeri che non siano mai stati scritti o letti in precedenza.
Per verificare la sistematizzazione dei primi cento numeri si appenderà un numero qualsiasi, ad es. 34, 68, e il bambino verrà incoraggiato a sistemare la cifra che lo precede, quella che lo segue, quella superiore e quella inferiore.
Per automatizzare il passaggio dalla rappresentazione analogica già nota si può richiedere la scrittura di eguaglianze, che rafforzeranno entro il 10 la corrispondenza fra i due sistemi di notazione grafica, con l’evocazione ora dell’uno, ora dell’altro.
I bambini dovranno andare incontro a tutte queste scoperte solo con una certa gradualità e nel rigoroso rispetto dei tempi individuali, sempre molto diversi da un soggetto all’altro. L’aritmetica infatti potrà apparire tanto più difficile, quanto più alto sarà il numero degli apprendimenti che ogni bambino si troverà a dover affrontare e risolvere contemporaneamente.
Il lavoro concreto attorno al cartellone dei numeri consente di far prendere coscienza ai bambini del fatto che la sequenza dei numeri è anche una seriazione, dato che ogni numero differisce dal seguente sempre e solo per la stessa quantità (+ 1); perciò all’interno di tutto il sistema ogni numero non è solo in relazione con il precedente o con il seguente, ma anche con tutti gli altri.
Il lavoro sin qui indicato aiuterà tutti i bambini sia a rappresentarsi il numero, grazie all’abaco ordinato, sia a sistematizzarlo, grazie al lavoro sul cartellone. Tali operazioni sono gli indispensabili preliminari per far affrontare a tutti con successo il calcolo aritmetico.

Pubblicato il 2011-03-04 

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· La mente e i suoi processi
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